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Annibale D'Ercole - Osservatorio Astronomico - Bologna

Se poniamo un elettrone in un punto dello spazio attraversato da un’onda elettromagnetica, questo elettrone comincerà ad oscillare "su e giù" rispetto alla posizione iniziale in risposta al campo elettrico oscillante dell’onda, proprio come farebbe un sughero galleggiante sull’acqua quando è investito da un’onda.
Al contrario del sughero, tuttavia, l’elettrone, possedendo una carica elettrica e, emette radiazione la cui intensità I è data da

dove c è la velocità della luce, e la carica dell’elettrone ed a la sua accelerazione.
Dunque un elettrone inizialmente fermo non emette radiazione. Una volta investito da un’onda elettromagnetica, però, l’elettrone sperimenta un’accelerazione alternata della stessa frequenza dell’onda incidente ed emette a sua volta radiazione di frequenza pari a quella del fascio incidente.  In altri termini, la radiazione è "diffusa" in tutte le direzioni.
Questa diffusione viene detta Thompson scattering, e la sua efficacia non dipende dalla frequenza della radiazione incidente.

Se però l’elettrone non è libero, ma posto in un atomo (come accade nell’atmosfera), le cose vanno diversamente.  In questo caso l’elettrone (negativo) è legato al nucleo atomico (positivo) tramite una forza elettrica e, per quel che concerne le argomentazioni che seguono, il suo moto può essere assimilato a quello di una molla: l’elettrone oscilla rispetto al nucleo, così come l’estremità di una molla oscilla rispetto alla sua posizione di equilibrio.
E' bene, allora, accantonare per il momento, il nostro elettrone e approfondire meglio il comportamento di una molla. Questo ci permetterà di chiarire, successivamente, il problema dell’interazione di un elettrone atomico con un fascio di radiazione incidente.

Consideriamo una pallina di massa m posta all’estremità di una molla e tendiamo la molla stessa spostando la pallina fino ad una distanza x dalla posizione di equilibrio.
La forza esercitata dalla molla sulla pallina si può scrivere come

F_m = - k x

La costante k è una caratteristica della molla (dà una misura della sua elasticità) ed il segno negativo sta ad indicare che la forza è sempre indirizzata in senso opposto allo spostamento.  Infatti, quando si tende la molla c’è uno spostamento positivo della pallina su cui la molla esercita una forza di richiamo in senso opposto; se invece comprimiamo la molla lo spostamento è negativo e la molla spinge la pallina di nuovo in senso opposto.
Dalla seconda legge di Newton sappiamo che ogni forza, e dunque anche quella esercitata dalla molla, può essere espressa come il prodotto della massa m per l’accelerazione a impressa alla massa dalla forza stessa:

F = m a

Dall’uguaglianza di questa espressione con quella data più sopra (F = F_m), otteniamo per l’accelerazione la formula

a = - ( k / m ) x

Se ora lasciamo andare la molla, la pallina posta alla sua estremità oscillerà avanti e indietro rispetto alla sua posizione di equilibrio in un intervallo –D < x < D, dove D è l’estensione massima dell’estremità della molla dalla posizione di equilibrio (l’estensione a cui abbiamo sottoposto la molla inizialmente).
Si può dimostrare facilmente che il moto della pallina è di tipo sinusoidale e può essere espresso, ad esempio, come x (t) = D cos (_ot), dove t è il tempo e _o = (k/m)^0.5 è connesso alla frequenza di oscillazione _o   tramite la relazione  _o = 2 _o.

In conclusione, si può dimostrare che l’accelerazione a cui è sottoposta la pallina dopo che si è "stuzzicata" la molla è

Dunque, il sistema molla+pallina non esegue vibrazioni casuali, ma oscilla ad una ben precisa frequenza _o, caratteristica del sistema (dipende dalla elasticità della molla e dalla massa della pallina).
Molti sistemi fisici reagiscono ad una sollecitazione esterna mettendosi ad oscillare con una propria frequenza caratteristica.  Un pendolo, una volta scostato dalla sua posizione di equilibrio e lasciato poi a se stesso, oscilla con una frequenza legata alla sua lunghezza (pendoli più corti hanno frequenze maggiori).  E' esperienza comune che è possibile regolare l’ampiezza di oscillazione dell’altalena su cui si è seduti, ma non la sua frequenza; per ottenere oscillazioni più frequenti è necessario ricorrere ad altalene più corte.  Le corde di una chitarra o un diapason rappresentano ulteriori esempi di sistemi fisici che, una volta sollecitati, reagiscono vibrando ad una frequenza ben precisa.
Tali sistemi vengono detti oscillatori armonici.

Possiamo ora tornare al nostro atomo e al problema di come esso reagisce una volta investito da un’onda elettromagnetica di data frequenza.
Nel contesto della fisica classica (ovvero in assenza di effetti quantistici) un elettrone in un atomo può essere assimilato ad un oscillatore armonico: esso oscilla attorno al nucleo con una frequenza caratteristica, analogamente alla pallina posta all’estremità della molla nell’esempio precedente.  La frequenza caratteristica dipende dalla struttura dell’atomo e dalla forza elettrostatica effettivamente esercita tra l’elettrone e il nucleo. Atomi diversi hanno frequenze caratteristiche diverse.
Tuttavia, un elettrone atomico investito da un’onda elettromagnetica rappresenta un problema un poco più complicato rispetto all’esempio della molla dato più sopra. Mentre infatti quest’ultima, dopo la sollecitazione iniziale, è libera di oscillare senza subire ulteriori interferenze esterne, l’elettrone è continuamente sottoposto all’azione del campo elettrico oscillante della radiazione incidente.  In questo caso, oltre alla forza di richiamo analoga ad F_m esercitata dal nucleo atomico, sull’elettrone agisce anche la forza elettrica F_e = eE, dove e è la carica dell’elettrone ed E è il campo elettrico dell’onda elettromagnetica.
Quest’ultimo oscilla ad una frequenza e può essere descritto come

E ( t ) = E_max cos ( t )

dove  = 2 , ed E_max è la massima intensità raggiunta dal campo elettrico.
In sostanza, F = F_m+ F_e   e, tenendo conto della formula di Newton, l’accelerazione dell’elettrone è data da

a = - _o² x + ( E_max / m ) cos ( t )

dove ora m rappresenta la massa dell’elettrone e _o la sua frequenza caratteristica. Questa equazione rappresenta un’oscillazione forzata, ed ovviamente coincide con l’equazione dell’oscillatore armonico in assenza di forze esterne (F_e = 0).
Non è difficile mostrare che, nel caso di un’oscillazione forzata, si ottiene

Dunque, l’elettrone "intrappolato" nel campo elettrico oscillante della radiazione incidente è forzato ad oscillare con la stessa frequenza di quest’ultima anziché con la propria.  Inoltre, ed è questo il punto importante, l’accelerazione massima

a cui è sottoposto l’elettrone dipende sia da  che da _o.
Ponendo x = ( _o / )  la formula precedente può essere riscritta come

Se l’elettrone viene colpito da un’onda elettromagnetica di frequenza simile a quella propria di oscillazione ( ~ _o), x  assume valori vicini all’unità; il denominatore nella formula precedente diventa piccolo e l’elettrone subisce un’accelerazione elevata riemettendo (diffondendo) la radiazione in tutte le direzioni.
Al contrario, se  e _o hanno valori molto diversi, a_max è piccolo e l’elettrone sperimenta un’accelerazione così piccola da non essere in grado di riemettere efficacemente (si veda l’equazione 1). Come accennato in precedenza, se comunichiamo ad un’altalena impulsi con una frequenza diversa da quella propria, non siamo in grado di amplificarne le oscillazioni.

In conclusione, contrariamente al Thompson scattering che è indipendente dalla frequenza, gli atomi diffondono più efficacemente la radiazione con frequenza vicina a quella loro propria di oscillazione, mentre risultano “trasparenti” alle onde di frequenza diversa. Questa diffusione selettiva è detta Rayleigh scattering e dà la spiegazione del colore blu del cielo. Le molecole che compongono l’atmosfera hanno frequenze proprie grandi rispetto a quelle della luce visibile (x >>1); dal momento che la radiazione che percepiamo come blu ha una frequenza doppia rispetto al rosso, la luce blu è diffusa molto più efficacemente. Dunque la luce blu ci arriva da ogni direzione, e noi vediamo il cielo blu.

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